Binärsystem

Das Binärsystem ist ein spezielles Zahlensystem, das nur zwei Ziffern kennt – nämlich 0 und 1. Es zählt neben dem Dezimalsystem wegen seiner technischen Bedeutung zu den bedeutendsten Zahlensystemen der Menschheit und findet in jedem Computer oder computerähnlichen Gerät Einsatz.

Jede Eingabe, jeder Code und jedes Programm wird von einem Computer derart ausgewertet, dass er am Ende nur noch mit dualen Zahlen arbeitet. Das Binärsystem lässt sich vereinfacht gesagt auch als Sprache des Computers bezeichnen.

Mit dem Binärsystem bzw. Dualsystem lassen sich unendlich große, ganze Zahlen abbilden, die in einer Folge von Nullen und Einsen dargestellt werden. Darüber hinaus gibt es auch Konventionen für rationale Zahlen, die ein Komma enthalten.

Binärsystem – Ursprung und Zukunft

Der Ursprung des Binärsystems liegt vermutlich im alten China. Die Vorläufer hatten jedoch noch nichts mit den uns bekannten Folgen von Null und Eins gemeinsam. Vielmehr ging es um eine Art System, dass nur zwei verschiedene Symbole kannte. Eine erste vollständige Dokumentation des Dualsystems fand durch den Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz im 18. Jahrhundert statt. Der Grund für Leibniz‘ Interesse an einem solchen Zahlensystem war seine Rechenmaschine. Die verbaute Mechanik war sehr empfindlich und mit der Verwendung des Dualsystems benötigte er deutlich weniger Bauteile und erzielte eine höhere Ausfallsicherheit.


Seine digitaltechnische Bedeutung erlangte das Binärsystem durch die Beschaffenheit der genutzten Bauteile. Zu Beginn der informationstechnischen Entwicklung wurden in erster Linie Relais verwendet, an deren Stelle später die Transistoren traten. Diese Komponenten kennen nur zwei Zustände – „An“ und „Aus“, sodass sich die Darstellung dualer Zahlen hervorragend lösen lässt. Heute findet sich das Binärsystem in nahezu allen technischen Geräten wieder. Grund dafür ist, dass Transistoren in den letzten Jahrzehnten immer kleiner wurden. In Computerkomponenten wie Prozessoren konnten deshalb immer mehr winzige Transistoren verbaut werden, was zu einem enormen Anstieg ihrer Rechenleistung führte.

Umrechnung in das Dezimalsystem

Duale Zahlen sind leicht in Dezimalzahlen umzuwandeln. Die Dualzahl für die Ziffer 3 ist beispielsweise 0011. Die Leserichtung verläuft in diesem Zahlensystem von Rechts nach Links und jede einzelne Stelle verkörpert eine nach Links aufsteigende Potenz zur Basis 2, beginnend bei 2^0, 2^1, 2^2 und so fort.

Die eigentliche Umrechnung in das Dezimalsystem erfolgt sehr leicht über eine Addition der einzelnen Potenzen. Die Potenzen der Stellen, die den Wert 1 tragen, werden addiert. Die Potenzen der Stellen mit einer 0 werden ignoriert.

Für das Beispiel lautet der Umrechnungsterm 1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 0 * 2^2 + 0 * 2^3. Nach der Auflösung der Potenzen erhalten wir 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 + 0 * 8, was unter Berücksichtigung der Punkt-vor-Strich-Regel schließlich 3 ergibt.

Dieses Umrechnungsprinzip lässt sich auf Dualzahlen mit unendlicher Stellenanzahl anwenden. Für eine bessere Übersicht empfiehlt es sich, immer vier Stellen zu gruppieren und einzelne Gruppen durch ein Leerzeichen zu trennen.

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